【动态规划】二维费用的背包问题

题目

8. 二维费用的背包问题 - AcWing题库

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有 $N$ 件物品和一个容量是 $V$ 的背包，背包能承受的最大重量是 $M$ 。

每件物品只能用一次。体积是 $v_i$ ，重量是 $m_i$ ，价值是 $w_i$ 。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，总重量不超过背包可承受的最大重量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行三个整数， $N,V, M$ ，用空格隔开，分别表示物品件数、背包容积和背包可承受的最大重量。

接下来有 $N$ 行，每行三个整数 $v_i, m_i, w_i$ ，用空格隔开，分别表示第 $i$ 件物品的体积、重量和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

$0 \lt N \le 1000$
$0 \lt V, M \le 100$
$0 \lt v_i, m_i \le 100$
$0 \lt w_i \le 1000$

输入样例

4 5 6
1 2 3
2 4 4
3 4 5
4 5 6

输出样例：

8

解题

方法一：动态规划

思路

思维过程：

动态规划：

• 状态定义：$f[i][j][k]$ 表示所有只考虑前 $i$ 个物品，总体积不大于 $j$ 且总重量不大于 $k$ 的所有选法中能得到的最大价值。

• 状态转移方程：$f[i][j][k] = \max \begin{cases} f[i-1][j][k] \\ f[i-1][j-v[i]][k-m[i]] + w[i] & v[i] \le j \le V, m[i] \le k \le M \end{cases}$

• 初始状态：只考虑前 $0$ 个物品的时候没有物品可选，最大价值一定是 $0$。

代码

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));
        in.nextToken();
        int N = (int) in.nval;
        in.nextToken();
        int V = (int) in.nval;
        in.nextToken();
        int M = (int) in.nval;
        int[][] f = new int[V + 1][M + 1];
        for (int i = 0; i < N; ++i) {
            in.nextToken();
            int v = (int) in.nval;
            in.nextToken();
            int m = (int) in.nval;
            in.nextToken();
            int w = (int) in.nval;
            for (int j = V; j >= v; --j) {
                for (int k = M; k >= m; --k) {
                    f[j][k] = Math.max(f[j][k], f[j - v][k - m] + w);
                }
            }
        }
        System.out.println(f[V][M]);
    }
}