【DFS, 记忆化搜索, 动态规划】不同路径

题目

62. 不同路径

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一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * 10^9

解题

方法一：DFS(超时)

思路

深度优先搜索，但是超时。

代码

class Solution {
    private int m, n;
    private int count;

    public int uniquePaths(int _m, int _n) {
        m = _m;
        n = _n;
        dfs(0, 0);
        return count;
    }

    private void dfs(int x, int y) {
        if (x == m - 1 && y == n - 1) {
            count++;
            return;
        }
        if (x >= m || y >= n) return;
        dfs(x + 1, y);
        dfs(x, y + 1);
    }
}

方法二：DFS 记忆化搜索

思路

深搜加一个记忆数组。

代码

class Solution {
    private int m, n;
    private int[][] memo;

    public int uniquePaths(int _m, int _n) {
        m = _m;
        n = _n;
        memo = new int[m + 1][n + 1];
        return dfs(0, 0);
    }

    private int dfs(int x, int y) {
        if (x == m - 1 && y == n - 1) return 1;
        if (x >= m || y >= n) return 0;
        if (memo[x][y] != 0) return memo[x][y];
        return memo[x][y] = dfs(x + 1, y) + dfs(x, y + 1);
    }
}

方法三：动态规划

思路

求矩阵左上到右下的什么什么路径，经典动态规划：

• 状态定义：$dp[i][j]$ 表示从 $(0, 0)$ 走到 $(i, j)$ 时的路径数量。
• 状态转移方程：$dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]$。
• 初始状态：每次只能往右走或者往下走，所以 $dp$ 数组第一列与第一行全部填充 $1$。

那么从左上到右下的不同路径为 $dp[m - 1][n - 1]$。

代码

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m][n];
        for (int i = 0; i < m; ++i) dp[i][0] = 1;
        Arrays.fill(dp[0], 1);
        for (int i = 1; i < m; ++i) {
            for (int j = 1; j < n; ++j) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
}