【动态规划】最低通行费「动态规划之数字三角形模型」

题目

1018. 最低通行费 - AcWing题库

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一个商人穿过一个 $N×N$ 的正方形的网格，去参加一个非常重要的商务活动。

他要从网格的左上角进，右下角出。

每穿越中间 $1$ 个小方格，都要花费 $1$ 个单位时间。

商人必须在 $(2N-1)$ 个单位时间穿越出去。

而在经过中间的每个小方格时，都需要缴纳一定的费用。

这个商人期望在规定时间内用最少费用穿越出去。

请问至少需要多少费用？

注意：不能对角穿越各个小方格（即，只能向上下左右四个方向移动且不能离开网格）。

输入格式

第一行是一个整数，表示正方形的宽度 $N$ 。

后面 $N$ 行，每行 $N$ 个不大于 $100$ 的正整数，为网格上每个小方格的费用。

输出格式

输出一个整数，表示至少需要的费用。

数据范围

$1 \le N \le 100$

输入样例：

5
1  4  6  8  10
2  5  7  15 17
6  8  9  18 20
10 11 12 19 21
20 23 25 29 33

输出样例：

109

样例解释

样例中，最小值为 $109=1+2+5+7+9+12+19+21+33$ 。

解题

方法一：动态规划 数字三角形模型

思路

在不走回头路的情况下从左上角走到右下角至少需要花费 $(2N - 1)$ 个时间单位，而商人必须在 $(2N-1)$ 个单位时间穿越出去，也就是说商人只能向下或者向右走。

动态规划：

• 状态定义：$dp[i][j]$ 表示所有从 $(1, 1)$ 开始走到 $(i, j)$ 的路径上数字和的最小值。
• 状态转移方程：$dp[i][j] = \min(dp[i-1][j] + g[i][j], dp[i][j - 1] + g[i][j])$。
• 初始状态：
  • $dp[1][1] = g[1][1]$ ；
  • $dp[i][1] = dp[i-1][1] + g[i][1], i = 2 \dots n$ ；
  • $dp[1][i] = dp[1][i-1] + g[1][i], i = 2 \dots n$ 。

代码

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));
        in.nextToken();
        int n = (int) in.nval;
        int[][] dp = new int[n + 1][n + 1];
        for (int i = 0; i <= n; ++i) {
            dp[i][0] = dp[0][i] = Integer.MAX_VALUE;
        }
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                in.nextToken();
                int x = (int) in.nval;
                if (i == 1 && j == 1) dp[i][j] = x;
                else dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + x;
            }
        }
        System.out.println(dp[n][n]);
    }
}