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GabrielxD

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【动态规划】鸡蛋的硬度

GabrielxD
2023-03-09 / 0 评论 / 0 点赞 / 105 阅读 / 1,447 字
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本文最后更新于 2023-03-09,若内容或图片失效,请留言反馈。部分素材来自网络,若不小心影响到您的利益,请联系我们删除。

题目

1048. 鸡蛋的硬度 - AcWing题库


最近XX公司举办了一个奇怪的比赛:鸡蛋硬度之王争霸赛。

参赛者是来自世界各地的母鸡,比赛的内容是看谁下的蛋最硬,更奇怪的是XX公司并不使用什么精密仪器来测量蛋的硬度,他们采用了一种最老土的办法–从高度扔鸡蛋–来测试鸡蛋的硬度,如果一次母鸡下的蛋从高楼的第a层摔下来没摔破,但是从a+1层摔下来时摔破了,那么就说这只母鸡的鸡蛋的硬度是a。

你当然可以找出各种理由说明这种方法不科学,比如同一只母鸡下的蛋硬度可能不一样等等,但是这不影响XX公司的争霸赛,因为他们只是为了吸引大家的眼球,一个个鸡蛋从100 层的高楼上掉下来的时候,这情景还是能吸引很多人驻足观看的,当然,XX公司也绝不会忘记在高楼上挂一条幅,写上“XX公司”的字样–这比赛不过是XX公司的一个另类广告而已。

勤于思考的小A总是能从一件事情中发现一个数学问题,这件事也不例外。

“假如有很多同样硬度的鸡蛋,那么我可以用二分的办法用最少的次数测出鸡蛋的硬度”,小A对自己的这个结论感到很满意,不过很快麻烦来了,“但是,假如我的鸡蛋不够用呢,比如我只有1个鸡蛋,那么我就不得不从第1层楼开始一层一层的扔,最坏情况下我要扔100次。如果有2个鸡蛋,那么就从2层楼开始的地方扔……等等,不对,好像应该从1/3的地方开始扔才对,嗯,好像也不一定啊……3个鸡蛋怎么办,4个,5个,更多呢……”,和往常一样,小A又陷入了一个思维僵局,与其说他是勤于思考,不如说他是喜欢自找麻烦。

好吧,既然麻烦来了,就得有人去解决,小A的麻烦就靠你来解决了。

输入格式

输入包括多组数据,每组数据一行,包含两个正整数 nnmm ,其中 nn 表示楼的高度, mm 表示你现在拥有的鸡蛋个数,这些鸡蛋硬度相同(即它们从同样高的地方掉下来要么都摔碎要么都不碎),并且小于等于 nn

你可以假定硬度为 xx 的鸡蛋从高度小于等于 xx 的地方摔无论如何都不会碎(没摔碎的鸡蛋可以继续使用),而只要从比 xx 高的地方扔必然会碎。

对每组输入数据,你可以假定鸡蛋的硬度在 00nn 之间,即在 n+1n+1 层扔鸡蛋一定会碎。

输出格式

对于每一组输入,输出一个整数,表示使用最优策略在最坏情况下所需要的扔鸡蛋次数。

数据范围

1n1001 \le n \le 100 ,
1m101 \le m \le 10

输入样例:

100 1
100 2

输出样例:

100
14

样例解释

最优策略指在最坏情况下所需要的扔鸡蛋次数最少的策略。

如果只有一个鸡蛋,你只能从第一层开始扔,在最坏的情况下,鸡蛋的硬度是100,所以需要扔100次。如果采用其他策略,你可能无法测出鸡蛋的硬度(比如你第一次在第二层的地方扔,结果碎了,这时你不能确定硬度是0还是1),即在最坏情况下你需要扔无限次,所以第一组数据的答案是100。

解题

方法一:动态规划

思路

思维过程:

image-20230309225026762

综上得到状态转移方程:f[i][j]=min(f[i][j1],max(f[k1][j1],f[ik][j])+1),1kif[i][j] = \min(f[i][j - 1], \max(f[k - 1][j - 1], f[i - k][j]) + 1), \enspace 1 \le k \le i

初始状态:

  • 只有一个手机的时候只能从 1n1 \dots n 一个一个试,所以扔鸡蛋次数最小值为 f[i][1]=i(i=1n)f[i][1] = i \enspace (i = 1\dots n)
  • 只有一层的时候,无论有多少手机,试一次就够了,所以扔鸡蛋次数最小值为 f[1][i]=1(i=1m)f[1][i] = 1 \enspace (i = 1\dots m)

代码

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        while (in.hasNext()) {
            int n = in.nextInt(), m = in.nextInt();
            int[][] f = new int[n + 1][m + 1];
            for (int i = 1; i <= n; ++i) f[i][1] = i;
            for (int i = 1; i <= m; ++i) f[1][i] = 1;
            for (int i = 2; i <= n; ++i) {
                for (int j = 2; j <= m; ++j) {
                    int mn = Integer.MAX_VALUE;
                    for (int k = 1; k <= i; ++k) {
                        mn = Math.min(mn, Math.max(f[k - 1][j - 1], f[i - k][j]) + 1);
                    }
                    f[i][j] = Math.min(mn, f[i][j - 1]);
                }
            }
            System.out.println(f[n][m]);
        }
    }
}
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