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GabrielxD

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【贪心】耍杂技的牛

GabrielxD
2023-02-08 / 0 评论 / 0 点赞 / 100 阅读 / 1,176 字
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本文最后更新于 2023-02-08,若内容或图片失效,请留言反馈。部分素材来自网络,若不小心影响到您的利益,请联系我们删除。

题目

125. 耍杂技的牛 - AcWing题库


农民约翰的 NN 头奶牛(编号为 1..N1..N )计划逃跑并加入马戏团,为此它们决定练习表演杂技。

奶牛们不是非常有创意,只提出了一个杂技表演:

叠罗汉,表演时,奶牛们站在彼此的身上,形成一个高高的垂直堆叠。

奶牛们正在试图找到自己在这个堆叠中应该所处的位置顺序。

NN 头奶牛中的每一头都有着自己的重量 WiW_i 以及自己的强壮程度 SiS_i

一头牛支撑不住的可能性取决于它头上所有牛的总重量(不包括它自己)减去它的身体强壮程度的值,现在称该数值为风险值,风险值越大,这只牛撑不住的可能性越高。

您的任务是确定奶牛的排序,使得所有奶牛的风险值中的最大值尽可能的小。

输入格式

第一行输入整数 NN ,表示奶牛数量。

接下来 NN 行,每行输入两个整数,表示牛的重量和强壮程度,第 ii 行表示第 ii 头牛的重量 WiW_i 以及它的强壮程度 SiS_i

输出格式

输出一个整数,表示最大风险值的最小可能值。

数据范围

1N500001 \le N \le 50000 ,
1Wi10,0001 \le W_i \le 10,000 ,
1Si1,000,000,0001 \le S_i \le 1,000,000,000

输入样例:

3
10 3
2 5
3 3

输出样例:

2

解题

方法一:贪心算法

思路

贪心策略

把所有牛以 Wi+SiW_i + S_i 从小到大的顺序从上排到下。

证明

如果有位置相邻的两头牛(kkk+1k+1)没有遵循 Wi+SiW_i + S_i 升序的顺序来排序,也即:Wk+Sk>Wk+1+Sk+1W_k + S_k > W_{k + 1} + S_{k + 1},那么此时:

  • kk 位置的牛的风险值为:W1+W2+SkW_1 + W_2 + \dots -S_k
  • k+1k+1 位置的牛的风险值为:W1+W2++WiSk+1W_1 + W_2 + \dots + W_i -S_{k+1}

交换它俩的位置(即为遵循Wi+SiW_i + S_i 升序的顺序):

  • kk 位置的牛的风险值为:W1+W2+Sk+1W_1 + W_2 + \dots - S_{k+1}
  • k+1k + 1 位置的牛的风险值为:W1+W2++Wk+1SkW_1 + W_2 + \dots + W_{k + 1} - S_{k}

把所有数减去 W1+W2++Wk1W_1 + W_2 + \dots + W_{k-1} 并加上 Sk+Sk+1S_k + S_{k+1} 会得到:

  • kk 位置的牛的风险值变化:Sk+1SkS_{k + 1} \longrightarrow S_k
  • k+1k + 1 位置的牛的风险值变化:Wk+SkWk+1+Sk+1W_k + S_k \longrightarrow W_{k + 1} + S_{k + 1}

联立条件中的不等式可得到关系:Sk+1??Sk??Wk+1+Sk+1<Wk+SkS_{k+1} ?? S_k ?? W_{k + 1} + S_{k + 1} < W_k + S_k

kk 位置的牛的风险值变化无法确定是变大还是变小,但我们只关心最大风险值的变化,所以发现在交换了位置之后最大风险值 Wk+SkW_k + S_k 变成了 Wk+1+Sk+1W_{k + 1} + S_{k + 1} ,明显地变小了。

故可以得出结论:在逐渐减小最大风险值的过程中,牛的顺序必定会向 Wi+SiW_i + S_i 升序的顺序靠拢。

代码

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));
        in.nextToken();
        int n = (int) in.nval;
        int[][] a = new int[n][2];
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            in.nextToken();
            a[i][0] = (int) in.nval;
            in.nextToken();
            a[i][1] = (int) in.nval;
        }
        Arrays.sort(a, (x, y) -> x[0] + x[1] - (y[0] + y[1]));
        int sum = a[0][0], mx = -a[0][1];
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            mx = Math.max(mx, sum - a[i][1]);
            sum += a[i][0];
        }
        System.out.println(mx);
    }
}
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