【树状数组, 线段树】动态求连续区间和

题目

1264. 动态求连续区间和 - AcWing题库

---

给定 $n$ 个数组成的一个数列，规定有两种操作，一是修改某个元素，二是求子数列 $[a,b]$ 的连续和。

输入格式

第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$ ，分别表示数的个数和操作次数。

第二行包含 $n$ 个整数，表示完整数列。

接下来 $m$ 行，每行包含三个整数 $k,a,b$ （ $k = 0$ ，表示求子数列 $[a,b]$ 的和； $k=1$ ，表示第 $a$ 个数加 $b$ ）。

数列从 $1$ 开始计数。

输出格式

输出若干行数字，表示 $k = 0$ 时，对应的子数列 $[a,b]$ 的连续和。

数据范围

$1 \le n \le 100000$ ,
$1 \le m \le 100000$ ，
$1 \le a \le b \le n$ ,
数据保证在任何时候，数列中所有元素之和均在 int 范围内。

输入样例：

10 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 5
0 1 3
0 4 8
1 7 5
0 4 8

输出样例：

11
30
35

解题

方法一：树状数组

树状数组

这里仅介绍树状数组的简单实现，详细介绍和证明见树状数组 - OI Wiki

简介

树状数组/二元索引树/Fenwick树是一种支持 单点修改 和 区间查询 的，代码量小的数据结构。

作用

1. 单点修改（ $O(\log{n})$ ）：把某个位置上的数 自增 一个值。
2. 区间查询（ $O(\log{n})$ ）：求序列中的某个 前缀和。

实现

$$\begin{aligned} c[1] &= a[1] &&\\ c[2] &= c[1] + a[2] &&\\ c[3] &= a[3] &&\\ c[4] &= c[2] + c[3] + a[4] &&\\ c[5] &= a[5] &&\\ c[6] &= c[5] + a[6] &&\\ c[7] &= a[7] &&\\ c[8] &= c[4] + c[6] + c[7] + a[8] &&\\ c[9] &= a[9] &&\\ c[10] &= c[9] + a[10] &&\\ c[11] &= a[11] &&\\ c[12] &= c[10] + c[11] + a[12] &&\\ c[13] &= a[13] &&\\ c[14] &= c[13] + a[14] &&\\ c[15] &= a[15] &&\\ c[16] &= c[8] + c[12] + c[14] + c[15] + a[16] &&\\ \end{aligned}$$

$lowbit(n)$ 可以获取 $n$ 的二进制表示中最低位的 1 。若 $x$ 的二进制表示中低位连续的 $0$ 的个数为 $k$ ，那么 $lowbit(x) = x \& -x = 2^{k}$ 。观察上图可以发现： $c[x]$ 在第 $k$ 层，例如 $8_{(10)} = 1000_{(2)}$ 所以 $c[8]$ 在第三层。

$$c[x] = \sum a(x-lowbit(x), x]$$

• $lowbit$ 操作：

  int lowbit(int n) {
      return n & -n;
  }
  

• 求 $x$ 前缀和操作：
  $\sum a[1 \dots x] = c[x] + c[x - lowbit(x)] + c[x - lowbit(x) - lowbit(x - lowbit(x))] + \dots + c[1]$ 。

  int query(int i) {
      int sum = 0;
      for (; i > 0; i -= lowbit(i)) sum += tr[i];
      return sum;
  }
  

• 修改操作：
  从图中不难看出，假如修改 $a[7]$ ，那么 $c[7], c[8], c[16]$ 会被修改，也就是说，如果修改位置 $x$ 的数字，那么树状数组中 $x, x + lowbit(x), x + lowbit(x) + lowbit(x + lowbit(x)), \dots, n$ 位置上的值会被更改。

  void add(int i, int x) {
      for (; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += x;
  }	
  

初始化树状数组的操作就相当于把 $x$ 位置自增 $a[x]$ ，直接使用修改操作增加即可。

思路

直接使用树状数组。

代码

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {
    static int n, m;
    static int[] a, tr;
    
    static int lowbit(int n) {
        return n & -n;
    }
    
    static void add(int i, int x) {
        for (; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += x;
    }
    
    static int query(int i) {
        int sum = 0;
        for (; i > 0; i -= lowbit(i)) sum += tr[i];
        return sum;
    }
    
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));
        in.nextToken();
        n = (int) in.nval;
        in.nextToken();
        m = (int) in.nval;
        a = new int[n + 1];
        tr = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            in.nextToken();
            a[i] = (int) in.nval;
        }
        for (int i = 1; i <= n; ++i) add(i, a[i]);
        while (m-- > 0) {
            in.nextToken();
            int k = (int) in.nval;
            in.nextToken();
            int x = (int) in.nval;
            in.nextToken();
            int y = (int) in.nval;
            if (k == 0) System.out.println(query(y) - query(x - 1));
            else add(x, y);
        }
    }
}

方法二：线段树

思路

线段树模板。

代码

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {
    static int n, m;
    static int[] a;
    static class Node {
        int l, r, sum;
        
        public Node(int l, int r, int sum) {
            this.l = l;
            this.r = r;
            this.sum = sum;
        }
    }
    static Node[] tr;
    
    static void pushup(int u) {
        tr[u].sum = tr[u << 1].sum + tr[u << 1 | 1].sum;
    }
    
    static void build(int u, int l, int r) {
        if (l == r) tr[u] = new Node(l, r, a[r]);
        else {
            tr[u] = new Node(l, r, 0);
            int m = l + r >> 1;
            build(u << 1, l, m);
            build(u << 1 | 1, m + 1, r);
            pushup(u);
        }
    }
    
    static int query(int u, int l, int r) {
        if (tr[u].l >= l && tr[u].r <= r) return tr[u].sum;
        else {
            int m = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
            int sum = 0;
            if (l <= m) sum += query(u << 1, l, r);
            if (r >= m + 1) sum += query(u << 1 | 1, l, r);
            return sum;
        }
    }
    
    static void modify(int u, int i, int x) {
        if (tr[u].l == tr[u].r) tr[u].sum += x;
        else {
            int m = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
            if (i <= m) modify(u << 1, i, x);
            else modify(u << 1 | 1, i, x);
            pushup(u);
        }
    }
    
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));
        in.nextToken();
        n = (int) in.nval;
        in.nextToken();
        m = (int) in.nval;
        a = new int[n + 1];
        tr = new Node[n * 4];
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            in.nextToken();
            a[i] = (int) in.nval;
        }
        build(1, 1, n);
        while (m-- > 0) {
            in.nextToken();
            int k = (int) in.nval;
            in.nextToken();
            int x = (int) in.nval;
            in.nextToken();
            int y = (int) in.nval;
            if (k == 0) System.out.println(query(1, x, y));
            else modify(1, x, y);
        }
    }
}