【动态规划, LIS】最长上升子序列

题目

895. 最长上升子序列

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给定一个长度为 $N$ 的数列，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。

输入格式

第一行包含整数 $N$ 。

第二行包含 $N$ 个整数，表示完整序列。

输出格式

输出一个整数，表示最大长度。

数据范围

$1 \le N \le 1000$ ，
$-10^9 \le 数列中的数 \le 10^9$

输入样例：

7
3 1 2 1 8 5 6

输出样例：

4

解题

方法一：动态规划

思路

思维过程：

动态规划：

• 状态定义：$dp[i]$ 表示所有以数组中第 $i$ 个数结尾的上升子序列的最大长度。
• 状态转移方程：当 $a[j] \le a[i]$ 时， $dp[i] = \max(dp[i], dp[j]+1), \enspace j=0 \dots i - 1$ 。
• 初始状态：$dp[0 \dots n-1] = 1$ 。

代码

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));
        in.nextToken();
        int n = (int) in.nval;
        int[] a = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            in.nextToken();
            a[i] = (int) in.nval;
        }
        int[] dp = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            dp[i] = 1;
            for (int j = 0; j < i; ++j) {
                if (a[j] < a[i]) dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
        }
        int max = 1;
        for (int x : dp) max = Math.max(max, x);
        System.out.println(max);
    }
}

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;
int n;
int a[N], dp[N];

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        dp[i] = 1;
        for (int j = 0; j < i; ++j) {
            if (a[j] < a[i]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
        }
    }
    int mx = 0;
    for (int& x : dp) mx = max(mx, x);
    printf("%d\n", mx);
    
    return 0;
}