【后缀最小值】全局倒置与局部倒置

题目

775. 全局倒置与局部倒置

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给你一个长度为 n 的整数数组 nums ，表示由范围 [0, n - 1] 内所有整数组成的一个排列。

全局倒置 的数目等于满足下述条件不同下标对 (i, j) 的数目：

• 0 <= i < j < n
• nums[i] > nums[j]

局部倒置 的数目等于满足下述条件的下标 i 的数目：

• 0 <= i < n - 1
• nums[i] > nums[i + 1]

当数组 nums 中 全局倒置 的数量等于 局部倒置 的数量时，返回 true ；否则，返回 false 。

示例 1：

输入：nums = [1,0,2]
输出：true
解释：有 1 个全局倒置，和 1 个局部倒置。

示例 2：

输入：nums = [1,2,0]
输出：false
解释：有 2 个全局倒置，和 1 个局部倒置。

提示：

• n == nums.length
• 1 <= n <= 5000
• 0 <= nums[i] < n
• nums 中的所有整数 互不相同
• nums 是范围 [0, n - 1] 内所有数字组成的一个排列

解题

方法一：暴力枚举(超时)

思路

我们发现全局倒置的数量一定会大于等于局部倒置的数量，也就是说：局部倒置是全局倒置的子集，那么我们要判断全局倒置的数量是否等于局部倒置的数量就是求它们的补集的大小是否为 $0$。

具体来说：两层循环，外层枚举下标 i ，内层从 i+2 到 n-1 枚举下标 j，如果发现 nums[i] > nums[j] 就说明补集不为空，返回 false。循环正常走完后说明全局倒置和局部倒置的数量相同，返回 true。

但这么做会超时。

代码

class Solution {
    public boolean isIdealPermutation(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        for (int i = 0; i < n - 2; ++i) {
            for (int j = i + 2; j < n; ++j) {
                if (nums[i] > nums[j]) return false;
            }
        }
        return true;
    }
}

方法二：维护后缀最小值

思路

为了优化 nums[i] 与后面元素比较所用时间，维护后缀最小值(suffMins)，如果存在 $nums[i] > min(nums[i+2 \dots n-1])$ 就说明补集不为空。

代码

class Solution {
    public boolean isIdealPermutation(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int[] suffMins = new int[n];
        suffMins[n - 1] = nums[n - 1];
        for (int i = n - 2; i >= 0; --i) {
            suffMins[i] = Math.min(nums[i], suffMins[i + 1]);
        }
        for (int i = 0; i < n - 2; ++i) {
            if (nums[i] > suffMins[i + 2]) return false;
        }
        return true;
    }
}