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GabrielxD

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【动态规划, LCS】最长公共子序列

GabrielxD
2022-09-12 / 0 评论 / 0 点赞 / 29 阅读 / 1,152 字 / 正在检测是否收录...

题目

1143. 最长公共子序列


给定两个字符串 text1 和 text2,返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ,返回 0

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串:它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符(也可以不删除任何字符)后组成的新字符串。

  • 例如,"ace""abcde" 的子序列,但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。

两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。

示例 1:

输入:text1 = "abcde", text2 = "ace" 
输出:3  
解释:最长公共子序列是 "ace" ,它的长度为 3 。

示例 2:

输入:text1 = "abc", text2 = "abc"
输出:3
解释:最长公共子序列是 "abc" ,它的长度为 3 。

示例 3:

输入:text1 = "abc", text2 = "def"
输出:0
解释:两个字符串没有公共子序列,返回 0 。

提示:

  • 1 <= text1.length, text2.length <= 1000
  • text1 和 text2 仅由小写英文字符组成。

解题

方法一:动态规划

思路

最长公共子序列问题是典型的二维动态规划问题。

假设字符串 text1text2 的长度分别为 mn,创建 m+1n+1 列的二维数组 dp,其中 dp[i][j] 表示 text1[0:i]text2[0:j] 的最长公共子序列的长度。

arr[a:b]arr[a:b] 表示数组 arrarr 里在区间 [a,b)[a, b) 中的元素。

考虑动态规划的边界情况:

  • i == 0 时,text1[0:i] 为空,空字符串和任何字符串的最长公共子序列长度的都是 0,因此对任意 0jn0 \le j \le n,有 dp[0][j] = 0
  • j == 0 时,text2[0:j] 为空,同理对任意 0im0 \le i \le m,有 dp[i][0] = 0

因此动态规划的边界情况是:当 i == 0 || j == 0dp[i][j] = 0

i<0mi < 0 \le m0<jn0 < j \le n 时,考虑 dp[i][j] 的计算:

  • text1[i-1] == text2[j-1] 时,将这两个相同字符称为公共字符,考虑 text1[0:i-1]text2[0:j-1] 的最长公共子序列,再增加一个字符(即公共字符)即可得到 text1[0:i]text2[0:j] 的最长公共子序列,因此 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1

  • text1[i-1] != text2[j-1] 时,考虑以下两项:

    • text1[0:i-1]text2[0:j] 的最长公共子序列。
    • text1[0:i]text2[0:j-1] 的最长公共子序列。

    要得到 text1[0:i]text2[0:j] 的最长公共子序列,应取两项中长度较大的一项,因此 dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])

由此可以得到状态转移方程:

dp[i][j]={dp[i1][j1]+1,text1[i1]=text2[j1]max(dp[i1][j],dp[i][j1]),text1[i1]text2[j1]dp[i][j] = \begin{cases} dp[i-1][j-1] + 1, & text_1[i-1]=text_2[j-1] \\ max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]), & text_1[i-1] \ne text_2[j-1] \end{cases}

最终计算得到 dp[m][n] 即为 text1text2 的最长公共子序列的长度。

image.png

参考:最长公共子序列

代码

class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        int m = text1.length(), n = text2.length();
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
        char[] chs1 = text1.toCharArray(), chs2 = text2.toCharArray();
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            char c1 = chs1[i - 1];
            for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                char c2 = chs2[j - 1];
                if (c1 == c2) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                else dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}
class Solution {
public:
    int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
        int m = text1.length(), n = text2.length();
        int dp[m + 1][n + 1];
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            const char& c1 = text1[i - 1];
            for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                if (c1 == text2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};
0

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