【树形DP】最大子树和

题目

P1122 最大子树和

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题目描述

小明对数学饱有兴趣，并且是个勤奋好学的学生，总是在课后留在教室向老师请教一些问题。一天他早晨骑车去上课，路上见到一个老伯正在修剪花花草草，顿时想到了一个有关修剪花卉的问题。于是当日课后，小明就向老师提出了这个问题：

一株奇怪的花卉，上面共连有 $N$ 朵花，共有 $N-1$ 条枝干将花儿连在一起，并且未修剪时每朵花都不是孤立的。每朵花都有一个“美丽指数”，该数越大说明这朵花越漂亮，也有“美丽指数”为负数的，说明这朵花看着都让人恶心。所谓“修剪”，意为：去掉其中的一条枝条，这样一株花就成了两株，扔掉其中一株。经过一系列“修剪“之后，还剩下最后一株花（也可能是一朵）。老师的任务就是：通过一系列“修剪”（也可以什么“修剪”都不进行），使剩下的那株（那朵）花卉上所有花朵的“美丽指数”之和最大。

老师想了一会儿，给出了正解。小明见问题被轻易攻破，相当不爽，于是又拿来问你。

输入格式

第一行一个整数 $n\ (1\le N\le 16000)$。表示原始的那株花卉上共 $n$ 朵花。

第二行有 $n$ 个整数，第 $i$ 个整数表示第 $i$ 朵花的美丽指数。

接下来 $n-1$ 行每行两个整数 $a,b$，表示存在一条连接第 $a$ 朵花和第 $b$ 朵花的枝条。

输出格式

一个数，表示一系列“修剪”之后所能得到的“美丽指数”之和的最大值。保证绝对值不超过 $2147483647$。

样例 #1

样例输入 #1

7
-1 -1 -1 1 1 1 0
1 4
2 5
3 6
4 7
5 7
6 7

样例输出 #1

3

提示

数据范围及约定

• 对于 $60\%$ 的数据，有 $1\le N\le 1000$；
• 对于 $100\%$ 的数据，有 $1\le N\le 16000$。

解题

方法一：树形DP

思路

动态规划：

• 状态定义：
  • $f[u]$ 表示所有从以点 $u$ 为根节点且包含点 $u$ 的子树的最大权重。
• 状态转移方程：（$v$ 是 $u$ 的子节点）
  • $f[u] = \max(f[u], f[u] + f[v])$（选/不选 点 $v$）。
• 初始状态：第一次状态转移前，对于所有节点，选择自己时子树的美丽指数和为它自己的美丽指数，即：$f[u] = w[u]$。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1.6e4 + 10, NEG_INF = 1 << 31;
int n;
int h[N], w[N], e[N * 2], ne[N * 2], idx;
int f[N];

void add(int a, int b) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

void dfs(int u, int p) {
    f[u] = w[u];
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int v = e[i];
        if (v == p) continue;
        dfs(v, u);
        f[u] = max(f[u], f[u] + f[v]);
    }
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int u = 1; u <= n; ++u) scanf("%d", &w[u]);
    memset(h, -1, sizeof(h));
    for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b), add(b, a);
    }
    dfs(1, -1);
    int ans = NEG_INF;
    for (int u = 1; u <= n; ++u) ans = max(ans, f[u]);
    printf("%d\n", ans);

    return 0;
}

参考

• 好好反思一下分数涨没涨，有没有好好刷题（第六期）
• 《ErikTse洛谷带刷100题》题单和题解