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GabrielxD

列車は必ず次の駅へ。では舞台は?私たちは?

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【树形DP】最大子树和

GabrielxD
2023-09-29 / 0 评论 / 0 点赞 / 145 阅读 / 1,030 字
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本文最后更新于 2023-09-29,若内容或图片失效,请留言反馈。部分素材来自网络,若不小心影响到您的利益,请联系我们删除。

题目

P1122 最大子树和


题目描述

小明对数学饱有兴趣,并且是个勤奋好学的学生,总是在课后留在教室向老师请教一些问题。一天他早晨骑车去上课,路上见到一个老伯正在修剪花花草草,顿时想到了一个有关修剪花卉的问题。于是当日课后,小明就向老师提出了这个问题:

一株奇怪的花卉,上面共连有 NN 朵花,共有 N1N-1 条枝干将花儿连在一起,并且未修剪时每朵花都不是孤立的。每朵花都有一个“美丽指数”,该数越大说明这朵花越漂亮,也有“美丽指数”为负数的,说明这朵花看着都让人恶心。所谓“修剪”,意为:去掉其中的一条枝条,这样一株花就成了两株,扔掉其中一株。经过一系列“修剪“之后,还剩下最后一株花(也可能是一朵)。老师的任务就是:通过一系列“修剪”(也可以什么“修剪”都不进行),使剩下的那株(那朵)花卉上所有花朵的“美丽指数”之和最大。

老师想了一会儿,给出了正解。小明见问题被轻易攻破,相当不爽,于是又拿来问你。

输入格式

第一行一个整数 n (1N16000)n\ (1\le N\le 16000)。表示原始的那株花卉上共 nn 朵花。

第二行有 nn 个整数,第 ii 个整数表示第 ii 朵花的美丽指数。

接下来 n1n-1 行每行两个整数 a,ba,b,表示存在一条连接第 aa 朵花和第 bb 朵花的枝条。

输出格式

一个数,表示一系列“修剪”之后所能得到的“美丽指数”之和的最大值。保证绝对值不超过 21474836472147483647

样例 #1

样例输入 #1

7
-1 -1 -1 1 1 1 0
1 4
2 5
3 6
4 7
5 7
6 7

样例输出 #1

3

提示

数据范围及约定

  • 对于 60%60\% 的数据,有 1N10001\le N\le 1000
  • 对于 100%100\% 的数据,有 1N160001\le N\le 16000

解题

方法一:树形DP

思路

动态规划:

  • 状态定义:
    • f[u]f[u] 表示所有从以点 uu 为根节点且包含点 uu 的子树的最大权重。
  • 状态转移方程:(vvuu 的子节点)
    • f[u]=max(f[u],f[u]+f[v])f[u] = \max(f[u], f[u] + f[v])(选/不选 点 vv)。
  • 初始状态:第一次状态转移前,对于所有节点,选择自己时子树的美丽指数和为它自己的美丽指数,即:f[u]=w[u]f[u] = w[u]

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1.6e4 + 10, NEG_INF = 1 << 31;
int n;
int h[N], w[N], e[N * 2], ne[N * 2], idx;
int f[N];

void add(int a, int b) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

void dfs(int u, int p) {
    f[u] = w[u];
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int v = e[i];
        if (v == p) continue;
        dfs(v, u);
        f[u] = max(f[u], f[u] + f[v]);
    }
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int u = 1; u <= n; ++u) scanf("%d", &w[u]);
    memset(h, -1, sizeof(h));
    for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b), add(b, a);
    }
    dfs(1, -1);
    int ans = NEG_INF;
    for (int u = 1; u <= n; ++u) ans = max(ans, f[u]);
    printf("%d\n", ans);

    return 0;
}

参考

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