【随机化, 水塘抽样】非重叠矩形中的随机点

题目

497. 非重叠矩形中的随机点

---

给定一个由非重叠的轴对齐矩形的数组 rects ，其中 rects[i] = [ai, bi, xi, yi] 表示 (ai, bi) 是第 i 个矩形的左下角点，(xi, yi) 是第 i 个矩形的右上角角点。设计一个算法来随机挑选一个被某一矩形覆盖的整数点。矩形周长上的点也算做是被矩形覆盖。所有满足要求的点必须等概率被返回。

在一个给定的矩形覆盖的空间内任何整数点都有可能被返回。

请注意 ，整数点是具有整数坐标的点。

实现 Solution 类:

• Solution(int[][] rects) 用给定的矩形数组 rects 初始化对象。
• int[] pick() 返回一个随机的整数点 [u, v] 在给定的矩形所覆盖的空间内。

示例 1：

输入: 
["Solution","pick","pick","pick","pick","pick"]
[[[[-2,-2,-1,-1],[1,0,3,0]]],[],[],[],[],[]]
输出: 
[null,[-1,-2],[2,0],[-2,-1],[3,0],[-2,-2]

解释：
Solution solution = new Solution([[-2, -2, 1, 1], [2, 2, 4, 6]]);
solution.pick(); // 返回 [1, -2]
solution.pick(); // 返回 [1, -1]
solution.pick(); // 返回 [-1, -2]
solution.pick(); // 返回 [-2, -2]
solution.pick(); // 返回 [0, 0]

提示：

• 1 <= rects.length <= 100
• rects[i].length == 4
• -10^9 <= ai < xi <= 10^9
• -10^9 <= bi < yi <= 10^9
• xi - ai <= 2000
• yi - bi <= 2000
• 所有的矩形不重叠。
• pick 最多被调用 10^4 次。

解题

方法一：水塘抽样

思路

总体思路：现在所有矩形中随机抽出一个矩形，再在该矩形中随机抽出 x、y 坐标即可。

随机抽出矩形：

• 假设共有 n 个矩形，那么其中某个矩形 k 被选中的概率并不是 $\frac{1}{n}$
• 而是 $\frac{S_k}{\sum\limits _{i=0}^{n-1} S_{i}}$ 也即 $\frac{矩形 k 的面积}{所有矩形的面积和}$

这里我们遍历 rects 数组，维护一个被抽到的矩形下标 idx ，一个总面积 total：

• 对于每个矩形算出其面积 $S_i=(x_i-a_i+1) * (y_i-b_i+1)$ (curr)
• 然后把面积加入到总面积中 total += curr
• 如果 $random[0, total)\in[0, curr)$ 那么就随机到了当前遍历到的矩形，把 idx 置为当前矩形的索引
• 由于每次遍历都会抽取矩形，那么这次遍历抽取到的矩形被保留的概率就是 $\frac{curr}{total}$

完成遍历后一定可以随机的选出一个矩形 rects[idx]。

取出该矩形左下角的点 $(a, b)$，右上角的点 $(x, y)$

返回 $\{random[a, x], random(b, y)]\}$

代码

class Solution {
    private Random rand;
    private int[][] rects;

    public Solution(int[][] _rects) {
        rand = new Random();
        rects = _rects;
    }
    
    public int[] pick() {
        int idx = -1, total = 0;
        for (int i = 0; i < rects.length; i++) {
            int curr = (rects[i][2] - rects[i][0] + 1) *
                (rects[i][3] - rects[i][1] + 1);
            total += curr;
            if (rand.nextInt(total) < curr) idx = i;
        }
        int[] rect = rects[idx];
        int a = rect[0], b = rect[1], x = rect[2], y = rect[3];
        return new int[]{a + rand.nextInt(x - a + 1), b + rand.nextInt(y - b + 1)};
    }
}