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GabrielxD

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【区间DP】石子合并

GabrielxD
2022-11-29 / 0 评论 / 0 点赞 / 33 阅读 / 961 字 / 正在检测是否收录...
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本文最后更新于 2022-12-01,若内容或图片失效,请留言反馈。部分素材来自网络,若不小心影响到您的利益,请联系我们删除。

题目

282. 石子合并


设有 NN 堆石子排成一排,其编号为 123N1,2,3,…,N

每堆石子有一定的质量,可以用一个整数来描述,现在要将这 NN 堆石子合并成为一堆。

每次只能合并相邻的两堆,合并的代价为这两堆石子的质量之和,合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻,合并时由于选择的顺序不同,合并的总代价也不相同。

例如有 44 堆石子分别为 1 3 5 2, 我们可以先合并 121、2 堆,代价为 44 ,得到 4 5 2, 又合并 121,2 堆,代价为 99 ,得到 9 2 ,再合并得到 1111 ,总代价为 4+9+11=244+9+11=24

如果第二步是先合并 232,3 堆,则代价为 77 ,得到 4 7,最后一次合并代价为 1111 ,总代价为 4+7+11=224+7+11=22

问题是:找出一种合理的方法,使总的代价最小,输出最小代价。

输入格式

第一行一个数 NN 表示石子的堆数 NN

第二行 NN 个数,表示每堆石子的质量(均不超过 10001000 )。

输出格式

输出一个整数,表示最小代价。

数据范围

1N3001 \le N \le 300

输入样例:

4
1 3 5 2

输出样例:

22

解题

方法一:动态规划

思路

思维过程:

image-20221129154250984

动态规划:

  • 状态定义:dp[i][j]dp[i][j] 表示把第 ii 石子到第 jj 堆石子合并成一堆的所有方式中所用的最小代价。

  • 状态转移方程:dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+x=ija[x])dp[i][j] = \min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j] + \sum_{x=i}^{j}{a[x]})

  • 初始状态:进行第一次状态转移前,没有任何两堆或两堆以上的石子被合并过,所以合并它们的代价应为正无穷,而单堆石子不需要合并,所以合并它们的代价应为 00。也就是说:

    • dp[i][j]=+dp[i][j] = +\infini=1n1,j=2n,ji1i = 1 \dots n - 1,j = 2 \dots n, j - i \ge 1
    • dp[i][i]=0dp[i][i] = 0i=1ni = 1 \dots n

代码

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {
    static final int INF = 0x3f3f3f3f;
    
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));
        in.nextToken();
        int n = (int) in.nval;
        int[] s = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            in.nextToken();
            s[i] = s[i - 1] + (int) in.nval;
        }
        int[][] dp = new int[n + 1][n + 1];
        for (int len = 2; len <= n; ++len) {
            for (int i = 1; i + len - 1 <= n; ++i) {
                int j = i + len - 1;
                dp[i][j] = INF;
                for (int k = i; k < j; ++k) {
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k + 1][j] + s[j] - s[i - 1]);
                }
            }
        }
        System.out.println(dp[1][n]);
    }
}
#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 310, INF = 0x3f3f3f3f;
int n;
int s[N], dp[N][N];

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        s[i] = x + s[i - 1];
    }
    for (int len = 2; len <= n; ++len) {
        for (int i = 1; i + len - 1 <= n; ++i) {
            int j = i + len - 1;
            dp[i][j] = INF;
            for (int k = i; k < j; ++k) {
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k + 1][j] + s[j] - s[i - 1]);
            }
        }
    }
    printf("%d\n", dp[1][n]);
    
    return 0;
}
0

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