【动态规划】完全背包问题

题目

3. 完全背包问题

有 $N$ 种物品和一个容量是 $V$ 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 $i$ 种物品的体积是 $v_i$ ，价值是 $w_i$ 。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数， $N，V$ ，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 $N$ 行，每行两个整数 $v_i, w_i$ ，用空格隔开，分别表示第 $i$ 种物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

$0 \lt N, V \le 1000$
$0 \lt v_i, w_i \le 1000$

输入样例

输出样例：

解题

方法一：动态规划

思路

思维过程：

动态规划：

状态定义： $dp[i][j]$ 表示所有只考虑前 $i$ 个物品，且总体积不大于 $j$ 的所有选法中能得到的最大价值。
状态转移方程： $dp[i][j] = \max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - k \times v[i]] + k \times w[i])$ （ $k \in [0, \frac{j}{v[i]}]$ ）。
初始状态：只考虑前 $0$ 个物品的时候没有物品可选，最大价值一定是 $0$ 。

代码

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));
        in.nextToken();
        int n = (int) in.nval;
        in.nextToken();
        int c = (int) in.nval;
        int[] v = new int[n + 1], w = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            in.nextToken();
            v[i] = (int) in.nval;
            in.nextToken();
            w[i] = (int) in.nval;
        }
        int[][] dp = new int[n + 1][c + 1];
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            int vi = v[i], wi = w[i];
            for (int j = 0; j <= c; ++j) {
                for (int k = 0; k * vi <= j; ++k) {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - 1][j - k * vi] + k * wi);
                }
            }
        }
        System.out.println(dp[n][c]);
    }
}

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;
int n, c;
int v[N], w[N], dp[N][N];

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &c);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        int vi = v[i], wi = w[i];
        for (int j = 0; j <= c; ++j) {
            for (int k = 0; k * vi <= j; ++k) {
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - k * vi] + k * wi);
            }
        }
    }
    printf("%d\n", dp[n][c]);
    
    return 0;
}

优化

原式：f[i][j] = max(f[i-1][j-k*vi] + k*wi)
展开：f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-vi]+wi, f[i-1, j-2*vi]+2*wi, f[i-1, j-3*vi]+3*wi, ...)
  f[i][j-vi] = max(           f[i-1][j-vi],    f[i-1, j-2*vi]+wi,   f[i-1, j-3*vi]+2*wi)
代换：f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i][j-vi] + wi)

把 $f(i, j)$ 通过等式代换构造得与 $k$ 无关，这样就可以省掉一层循环

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));
        in.nextToken();
        int n = (int) in.nval;
        in.nextToken();
        int c = (int) in.nval;
        int[] v = new int[n + 1], w = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            in.nextToken();
            v[i] = (int) in.nval;
            in.nextToken();
            w[i] = (int) in.nval;
        }
        int[][] dp = new int[n + 1][c + 1];
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            int vi = v[i], wi = w[i];
            for (int j = 0; j <= c; ++j) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                if (vi <= j) dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i][j - vi] + wi);
            }
        }
        System.out.println(dp[n][c]);
    }
}

滚动数组优化

每次状态转移只用到了上一行的数据，可以进行滚动数组优化。

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));
        in.nextToken();
        int n = (int) in.nval;
        in.nextToken();
        int c = (int) in.nval;
        int[] v = new int[n + 1], w = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            in.nextToken();
            v[i] = (int) in.nval;
            in.nextToken();
            w[i] = (int) in.nval;
        }
        int[][] dp = new int[2][c + 1];
        int curr = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            int vi = v[i], wi = w[i];
            for (int j = 0; j <= c; ++j) {
                dp[curr][j] = dp[curr ^ 1][j];
                if (vi <= j) dp[curr][j] = Math.max(dp[curr][j], dp[curr][j - vi] + wi);
            }
            curr ^= 1;
        }
        System.out.println(dp[curr ^ 1][c]);
    }
}

滚动数组再优化

每次状态转移时都只会用到这一次比 $j$ 小的列，所以可以从前向后迭代用新的状态来覆盖旧状态。

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));
        in.nextToken();
        int n = (int) in.nval;
        in.nextToken();
        int c = (int) in.nval;
        int[] v = new int[n + 1], w = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            in.nextToken();
            v[i] = (int) in.nval;
            in.nextToken();
            w[i] = (int) in.nval;
        }
        int[] dp = new int[c + 1];
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            int vi = v[i], wi = w[i];
            for (int j = vi; j <= c; ++j) {
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - vi] + wi);
            }
        }
        System.out.println(dp[c]);
    }
}

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;
int n, c;
int v[N], w[N], dp[N];

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &c);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        const int& vi = v[i], & wi = w[i];
        for (int j = vi; j <= c; ++j) {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - vi] + wi);
        }
    }
    printf("%d\n", dp[c]);
    
    return 0;
}

我们发现 0-1背包问题与完全背包问题的最终优化代码只有状态转移时的迭代顺序不同：

目录CONTENT

【动态规划】完全背包问题

题目

解题

方法一：动态规划

思路

代码

优化

滚动数组优化

滚动数组再优化

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