【计数DP】整数划分

题目

900. 整数划分

一个正整数 $n$ 可以表示成若干个正整数之和，形如： $n = n_1 + n_2 + … + n_k$ ，其中 $n_1 \ge n_2 \ge … \ge n_k, k \ge 1$ 。

我们将这样的一种表示称为正整数 $n$ 的一种划分。

现在给定一个正整数 $n$ ，请你求出 $n$ 共有多少种不同的划分方法。

输入格式

共一行，包含一个整数 $n$ 。

输出格式

共一行，包含一个整数，表示总划分数量。

由于答案可能很大，输出结果请对 $10^9 + 7$ 取模。

数据范围

$1 \le n \le 1000$

输入样例:

输出样例：

解题

方法一：动态规划

思路

用多重背包问题的思路考虑：

有 $n$ 个物品与一个容量为 $n$ 的背包，第 $i$ 种物品最多有 $i$ 件，每件体积是 $i$ （ $i$ 从 $1$ 开始），求把背包正好填满的方案数（不考虑顺序）。

思维过程：

动态规划：

状态定义： $dp[i][j]$ 表示所有只考虑前 $i$ 个物品，且总体积恰好等于 $j$ 的所有选法的数量（ $\mod 10^9+7$ ）。
状态转移方程： $dp[i][j] = \sum_{k=0}^{\min(n, \lfloor\frac{j}{i}\rfloor)} dp[i - 1][j - k * i]$ 。
初始状态：只考虑前 $0$ 个物品背包容量为 $0$ 时只有一种固定的方案，所以： $dp[0][0] = 1$ 。

代码

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {
    static final int MOD = (int) 1e9 + 7;
    
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));
        in.nextToken();
        int n = (int) in.nval;
        int[][] dp = new int[n + 1][n + 1];
        dp[0][0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (int j = 0; j <= n; ++j) {
                for (int k = 0; k <= n && k * i <= j; ++k) {
                    dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i - 1][j - k * i]) % MOD;
                }
            }
        }
        System.out.println(dp[n][n]);
    }
}

优化

优化的思路和完全背包问题 - 优化一样，都是展开公式、代换。

原式：f[i][j] = f[i][j] + f[i-1][j-k*i]
展开：f[i][j] = f[i-1][j] + f[i-1][j-i] + f[i-1][j-2*i] + ... + f[i-1][j-k*i]
   f[i][j-i] =             f[i-1][j-i] + f[i-1][j-2*i] + ... + f[i-1][j-k*i]
代换：f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-i]

于是有状态转移方程： $dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-i]$ 。

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {
    static final int MOD = (int) 1e9 + 7;
    
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));
        in.nextToken();
        int n = (int) in.nval;
        int[][] dp = new int[n + 1][n + 1];
        dp[0][0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (int j = 0; j <= n; ++j) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                if (j >= i) dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i][j - i]) % MOD;
            }
        }
        System.out.println(dp[n][n]);
    }
}

滚动数组再优化

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {
    static final int MOD = (int) 1e9 + 7;
    
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));
        in.nextToken();
        int n = (int) in.nval;
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (int j = i; j <= n; ++j) {
                dp[j] = (dp[j] + dp[j - i]) % MOD;
            }
        }
        System.out.println(dp[n]);
    }
}

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010, MOD = 1e9 + 7;
int n;
int dp[N];

int main() {
    scanf("%d", &n);
    dp[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = i; j <= n; ++j) {
            dp[j] = (dp[j] + dp[j - i]) % MOD;
        }
    }
    printf("%d\n", dp[n]);
    
    return 0;
}

方法二：另一种思路的动态规划

思路